Ecuaciones diferenciales ordinarias

Objetivo

Utilizar las funciones de MatLab para obtener el valor eficaz y medio de una señal periodica

Fundamento teórico

Software MatLab

Es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M).

Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques.

Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y desarrollo. En los últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la de programar directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL.

Valor medio

Se llama valor medio de una tensión (o corriente) alterna a la media aritmética de todos los valores instantáneos de tensión (o corriente), medidos en un cierto intervalo de tiempo.

En una corriente alterna sinusoidal, el valor medio durante un período es nulo: en efecto, los valores positivos se compensan con los negativos. Vm = 0

Periodo de la señal

Valor eficaz

Se define el valor eficaz de una corriente alterna, como aquel valor que llevado a corriente continua nos produce los mismos efectos caloríficos. Es un valor característico, que por otra parte es el que proporcionan los instrumentos de medida, ya sean analógicos o digitales. Aunque en la actualidad ya existen instrumentos digitales que proporcionan otros parámetros de la señal alterna.

Periodo de la señal:

Desarrollo

Ecuaciones diferenciales

1. Resolver la ecuación diferencial ordinaria: tdt+vdv=0 con la condición inicial (t;v)=(0;2)
   Código de MatLab:
   

   Solución

   Primero ordenamos la ecuación diferencial ordinaria

   
   • %Solución de una ecuación diferencial ordinaria EDO
   • clc
   • close all
   • clear all
   • %EDO: dv/dt=-t/v
   • %Condición inicial: v(0)=2
   • syms t
   • v = dsolve('Dv = -t/v','v(0) = 2','t');
   • %Ejecutar el progrma y obtener la solución
   • %La solución es v=2^(1/2)*(2-t^2/2)^(1/2)
   • %grafica de la solución
   • t=0:0.01:3;
   • vs=2^(1/2)*(2-t.^2/2).^(1/2);
   • plo(t,vs)
   • xlabel('tiempo(s)')
   • ylabel('voltaje(v)')
   • title(´Grafica de la solución')
   • grid on
   
   

   Gráfica de la función:

   
   

   Resultados

   • v = 2^(1/2)*(2-t^2/2)^(1/2)
2. Resolver la ecuación diferencial ordinaria:
   

   Código de MatLab:

   • %valor medio y eficaz de una señal triangular
   • clc
   • close all
   • clear all
   • %señal triangular
   • A=2;
   • T=10;
   • fr=1/T;
   • t=0:0.01:T;
   • f1=(4/A/T)*t;
   • f2=¨(-4*A/T)*(t-T/2);
   • f3=(4*A/T)*(t-T);
   • f4=0;
   • ft=f1+(f2-f1).*heaviside(t-T/4)+(f3-f2).*heaviside(t-3*T/4)+(f4-f3).*heaviside(t-T);
   • plot(t,ft,'LineWidth',4)
   • grid on
   • syms A T t
   • %intervalo de integración;
   • d=[0 T/4 3*T/4 T];
   • %función triangular
   • f1=(4*A/T)*t;
   • f2=(-4*A/T)*(t-T/2);
   • f3=(4*A/T)*(t-T);
   • f=[f1 f2 f2];
   • f=sym(f);
   • %valor medio inicial
   • vm0=0;
   • for i=1:length(F)
   • vm0=vm0+int(f(i),'t',d(i),d(i+1));
   • end
   • %valor medio final
   • vm=(1/T)*vm0;
   • %valor eficaz inicial
   • vef0=0;
   • for i=1:length(f)
   • vef0=vef0+int(f(i)^2,'t',d(i),d(i+1));
   • end
   • %valor eficaz final
   • vef=((1/T)*vef0)^0.5;
   
   

   Gráfica de la función:

   
   

   Resultados:

   • vm = 0
   • vef = (A^2/3)^(1/2)



3. Valor medio y eficaz de una señal trapecial
   

   Código para MatLab

   • %valor medio y eficaz de una señal trapecial
   • clc
   • clear all
   • close all
   • %señal trapecial
   • A=2;
   • T=10;
   • fr=1/T;
   • t=0:0.01:T;
   • f1=(4*A/T)*t;
   • f2=A;
   • f3=(-4*A/T)*(t-T);
   • f4=0;
   • ft=f1+(f2-f1).*heaviside(t-T/4)+(f3-f2).*heaviside(t-3*T/4)+(f4-f3).*heaviside(t-T);
   • plot(t,ft,'LineWidth',4)
   • axis([0 11 -2.5 2.5])
   • grid on
   • syms A T t
   • %intervalo de integración
   • d=[0 T/4 3*T/4 T];
   • %función triangular
   • f1=(4*A/T)*t;
   • f2=A;
   • f3=(-4*A/T)*(t-T);
   • f=[f1 f2 f3];
   • f=sym(f);
   • %valor medio inicial
   • vm0=0;
   • for i=1:length(f)
   • vm0=vm0+int(f(i),'t',d(i),d(i+1));
   • end
   • %valor medio final
   • vm=(1/T)*vm0;
   • %valor eficaz inicial
   • vef0=0;
   • for i=1:length(f)
   • vef0=vef0+int(f(i)^2,'t',d(i),d(i+1));
   • end
   • %valor eficaz final
   • vef=((1/T)*vef0)^0.5;

   Gráfica de la función:

   
   
   

   Resultado:

   • vm= (3*A)/4
   • vef=((2*A^2)/3)^(1/2)
4. Valor medio y eficaz de señal senoidal rectificada media onda
   

   Código para MatLab:

   • %valor medio y eficaz de una señal senoidal rectificada de media onda
   • clc
   • clear all
   • close all
   • %señal
   • A=2;
   • T=10;
   • fr=1/T;
   • t=0:0.01:T;
   • f1=A*sin(2*pi*fr*t);
   • f2=0;
   • ft=f1+(f2-f1)*heaviside(t-T/2)
   • plot(t,f,'LineWidth',4)
   • axis([0 11 0 2.5])
   • grid on
   • syms A T t
   • %intervalo de integración
   • d=[0 T/2];
   • %función
   • f1=A*sin(2*pi*(1/T)*t)
   • f=f1;
   • f=sym(f)
   • %valor medio inicial
   • vm0=int(f,'t',d(1),d(2));
   • %valor medio final
   • vm=(2/T)*vm0;
   • %valor eficaz inicial
   • vef0=int(f^2,'t',d(1),d(2));
   • %valor eficaz final
   • vef=((2/T)*vef0)^0.5;

   Gráfica de la función;

   
   
   
   

   Resultados

   • vm= (2*A)/pi
   • vef= (A^2/2)^(1/2)
5. Valor medio y eficaz de una señal senoidal rectificada de onda completa

   Código para MatLab

   • %Valor medio y eficaz de una señal senoidal rectificada de onda completa
   • clc
   • clear all
   • close all
   • %señal
   • A=2;
   • T=10;
   • fr=1/T;
   • t=0:0.01:T;
   • f1=A*sin(2*pi*fr*t);
   • f2=abs(f1);
   • ft=f1+(f2-f1)*heaviside(t-T/2)
   • plot(t,ft,'LineWidth',4)
   • axis([0 11 0 2.5])
   • grid on
   • syms A T t
   • %intervalo de integración
   • d=[0 T/2];
   • %función
   • f1=A*sin(2*pi*(1/T)*t)
   • f=f1;
   • f=sym(f)
   • %valor medio inicial
   • vm0=int(f,'t',d(1),d(2));
   • %valor medio final
   • vm=2*(2/T)*vm0;
   • %valor eficaz inicial
   • vef0=int(f^2,'t',d(1),d(2));
   • %valor eficaz final
   • vef=2*((2/T)*vef0)^0.5;

   Gráfica de la función:

   
   

   Resultados:

   vm = (4*A)/pi

   vef= 2*(A^2/2)^(1/2)

Observaciones:

• Para determinar el valor medio y eficaz se tiene que declarar los parámetros de integración y variables de integración después de el comando “plot” que sirve para graficar la señal.
• Se debe tener en cuenta que en ciertas señales no son periódicas puesto se utiliza solo un periodo para determinar el valor medio y eficaz.
• Para la gráfica de señal senoidal de onda completa, se integró la primera parte de la onda y se multiplico por 2 ya que la onda es igual.
• Para poder graficar las señales se debe remplazar la frecuencia (f) por la frecuencia (t), además de comentar la línea “syms” y darles valores a las variables. Como recomendación añadir el comando axis para centrar la señal en mitad de la gráfica.

Conclusiones:

• Al conocer el funcionamiento de los comandos para generar funciones, se pueden modificar los parámetros para dar formas a las señales y de esta forma convertirlas en la señal deseada.
• Poder generar estas funciones digitalmente es útil para simular algunos procesos y así estudiar los posibles fenómenos a estudiar.
• Matlab es un entorno amigable para entender y aprender código de una manera fácil y rápida.
• Es útil poder hallar el valor medio y eficaz de señales comunes en electrónica de una manera tan fácil y visual.